By Thomas Bauer

ISBN-10: 383481914X

ISBN-13: 9783834819147

ISBN-10: 3834823120

ISBN-13: 9783834823120

Schulmathematik und universitäre Mathematik – zwei getrennte Welten? Das vorliegende Buch begegnet dieser Frage mit einem neuen Konzept: Es bietet Schnittstellenaufgaben, die in den zentralen Themenbereichen der research vielfältige Bezüge zwischen Schul- und Hochschulmathematik herstellen und diese für das Mathematiklernen nutzbar machen.

- Schnittstellenaufgaben greifen Vorstellungen aus der Schulmathematik auf und nutzen diese, um Begriffsbildungen und Konzepte der Hochschulmathematik besser zu verstehen.

- Umgekehrt zeigen sie, dass die Instrumente der Hochschulmathematik Möglichkeiten bieten, Schulmathematik tiefer zu durchdringen und sie auch dort zu erklären, wo in der Schule Plausibilitätsbetrachtungen genügen müssen.

Ausführliche kommentierte Lösungsvorschläge unterstützen dabei den Lernprozess.

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7 Zug¨ ange zu n-ten Wurzeln 43 (ii) Beweis von Eigenschaften der Wurzelfunktion In den Zug¨ angen (2) und (3) lassen sich Aussagen zur Stetigkeit und Diffe¨ ber die Umkehrfunktion bzw. aus den Eigenrenzierbarkeit aus dem Satz u schaften der Exponentialfunktion gewinnen. Die Zug¨ ange (1) und (4) bieten dagegen keine solchen Argumentationsm¨ oglichkeiten – zum Beispiel ist es nicht unmittelbar klar, dass in (4) der Grenzwert der Iterationsfolge stetig oder gar differenzierbar von a abh¨ angt. Die nachfolgenden Ausf¨ uhrungen ergeben eine bemerkenswerte Erkenntnis: Man kann die in der Aufgabenstellung genannten Eigenschaften der Wurzelfunktion beweisen, ohne dabei auf einen bestimmten Zugang Bezug zu nehmen: Man bezieht sich dazu bei der Argumentation ausschließlich auf die charakterisierende Ei√ genschaft ( n a)n = a und auf Eigenschaften der Potenzfunktion – dadurch wird man v¨ ollig unabh¨ angig vom jeweils gew¨ ahlten Zugang!

1 Ableitungen als Tangentensteigungen: Vorstellungen und Fehlvorstellungen Was sollten Sie schon kennen? den Ableitungsbegriff und die Grundvorstellung der Ableitung als Tangentensteigung Was lernen Sie hier? Sie sch¨ arfen Ihre Vorstellungen zur Interpretation der Ableitung mittels Sekanten und Tangenten. Aufgabe Welche der folgenden Vorstellungen zum Ableitungsbegriff sind zutreffend, bei welchen handelt es sich um Fehlvorstellungen? Erl¨ autern Sie jeweils, warum die Vorstellung zutreffend ist bzw.

Daraus, dass fn n f¨ ur alle n ∈ N gilt (was man sofort durch Induktion nachweisen kann). Wir nutzen nun – mit den Abk¨ urzungen α und β aus (c) – die explizite Darstellung 1 fn = √ (αn − βn ) 5 und werden zeigen, dass lim n fn = α n→∞ gilt. Zun¨ achst die Intuition: Da αn → ∞, aber βn → 0 gilt, wird man erwarten, dass sich im obigen Ausdruck f¨ ur fn bei der Grenzwertbildung der αn -Term »durchsetzt« – und aufgrund der zu bildenden n-ten Wurzel zum Grenzwert α f¨ uhrt. Dass dies tats¨ achlich so ist, k¨ onnen wir so beweisen: Es ist n fn = n 1 β n √ · α 1 − ( )n .

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Analysis - Arbeitsbuch: Bezüge zwischen Schul- und Hochschulmathematik – sichtbar gemacht in Aufgaben mit kommentierten Lösungen by Thomas Bauer


by Thomas
4.2

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