By Oliver Deiser

ISBN-10: 3662456923

ISBN-13: 9783662456927

ISBN-10: 3662456931

ISBN-13: 9783662456934

Anschließend an Band 1 werden in diesem Buch diejenigen Inhalte präsentiert, die den Analysis-Zyklus vervollständigen und abschließen. Dabei werden ausführlich die Integration, topologische Grundbegriffe und die mehrdimensionale Differentiation behandelt und zudem Fourier-Reihen, gewöhnliche Differentialgleichungen und die mehrdimensionale Integration im Überblick vorgestellt.

Der textual content wendet sich speziell an Studierende des Lehramts Mathematik an Gymnasien sowie an Lehrerinnen und Lehrer. Zahlreiche Aufgaben runden den textual content ab und motivieren eine weitergehende Auseinandersetzung mit dem Stoff. Durch ein hohes Maß an mathematischer Genauigkeit und durch vollständige Beweise bleibt der Anschluss an das Fachstudium gewahrt.

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A) Für P ⊆ A ⊆ ‫ ޒ‬sei 1AP : A → ‫ ޒ‬definiert durch ⎧ ⎭ 1, falls x ∈ P, A 1P (x) = ⎫ ⎩ 0, falls x ∈ A − P. Ist A festgelegt − etwa ein Intervall [ a, b ] − so schreiben wir kurz 1P statt 1AP . Die Treppenfunktionen auf [ a, b ] sind genau die Linearkombinationen von Indikatorfunktionen von Intervallen auf [ a, b ], also Funktionen der Form g = ∑ k ≤ n ck 1Ik , (Darstellung von Treppenfunktionen) wobei die Mengen Ik beliebige Intervalle in [ a, b ] sind, die nicht notwendig disjunkt sein müssen.

Ist X unendlich, so ist ᏾ keine Algebra auf X. (4) Für alle X sind { ∅, X } und P(X) Algebren auf X. 46 1. Abschnitt Integration Damit können wir nun Inhalte definieren. Die folgende Definition geht auf Felix Hausdorff (1914) zurück. Definition (Inhalt auf einem Verband) Sei ᐂ ein Verband. Eine Funktion μ : ᐂ → [ 0, ∞ [ heißt ein (endlicher) Inhalt auf ᐂ, falls für alle A, B ∈ ᐂ gilt: (a) μ(∅) = 0, (b) A ⊆ B impliziert μ(A) ≤ μ(B), (c) μ(A) + μ(B) = μ(A ∪ B) + μ(A ∩ B). (Monotonie) (Modularität) Man kann allgemeiner auch Funktionen μ : ᐂ → [0, ∞] zulassen, mit der üblichen Arithmetik für den Wert ∞.

Die Oszillation einer Funktion Wir betrachten die Differenzen Sp f − sp f noch etwas genauer. Definition (Oszillation einer Funktion auf einer Menge) Ist P ⊆ ‫ޒ‬, f : P → ‫ ޒ‬und A ⊆ P, so heißt osA (f ) = supx ∈ A f(x) − infx ∈ A f(x) die Oszillation von f auf A. Die Darbouxsche Integrierbarkeitsbedingung für ein f : [ a, b ] → ‫ ޒ‬besagt, dass wir für jedes ε > 0 eine Partition p = (tk )k ≤ n von [ a, b ] finden können, sodass die Summe ∑ k ≤ n (os[tk, tk + 1 ] f ) (tk + 1 − tk ) der mit den Intervall-Längen gewichteten Oszillationen von f kleiner als ε ist.

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Analysis 2 by Oliver Deiser


by Jason
4.2

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