By Schloemilch O.

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1 Suites convergentes et coordonnées . . . 2 Cas des suites complexes . . . . . . Suites de Cauchy . . . . . . . . . 1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . 2 Convergence des suites de Cauchy . . . Relations de comparaison entre suites . . 1 Domination, notation O . . . . . . 2 Négligeabilité, notation o . . . . . . 3 Équivalence, notation ∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Soient (un )n une suite de E et (λn )n une suite de K. (i) Si (un )n est bornée et limn λn = 0, alors limn λn un = 0. (ii) Si (un )n tend vers 0 et (λn )n est bornée, alors limn λn un = 0. Preuve. (i) Puisque la suite (un )n est bornée, il existe un nombre positif M , indépendant de n, tel que pour tout n ∈ N on ait un M . Ainsi ∀n ∈ N, 0 et par encadrement limn λn un = 0. λn un = |λn | un |λn |M 34 Espace vectoriel normé (ii) La suite (λn )n est bornée si, et seulement si, il existe un nombre positif Λ, indépendant de n tel que pour tout n ∈ N on ait |λn | Λ.

En cas de convergence, le nombre S = limn Sn est appelé somme de la série un ; il est noté S= ∞ u , k joue le rôle d’un indice muet. Pour tout n ∈ N, on définit le reste de rang n par k=0 k +∞ Rn = S − Sn = k=n+1 uk . Retenons : S= ∞ n uk = k=0 Rn = S − S n = uk uk = lim k 0 +∞ n k=0 p uk = lim k=n+1 p uk k=n+1 Remarques. Étudier une série un , c’est d’abord déterminer sa nature : convergence ou divergence ; puis, étudier le comportement de (Sn )n en cas de divergence, ou déterminer la valeur exacte ou approchée de la somme et obtenir des renseignements sur la vitesse de convergence vers 0 de la suite des restes d’ordre n en cas de convergence.

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Allgemeine Umkehrung gegebener Funktionen by Schloemilch O.

by Ronald

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